hypercurve

Hyper

Hyperelliptic Curve (Under construction)

Especificação da Curva Pseudo-Hiperelíptica

Estrutura baseada em divisores sobre uma curva algébrica abstrata. Este sistema não implementa uma curva hiperelíptica tradicional, mas sim um grupo abstrato de divisores que emula suas propriedades.

Corpo finito:

• $\mathbb{F}_p$ com $p = \mathtt{0xFBB88A...39211F}$ (primo 768-bit)

Divisor base:

• $u(x) = x^2 + U_1 x + U_0$ (U = [U₀, U₁])
• $v(x) = V_1 x + V_0$ (V = [V₀, V₁])

Relação fundamental:

• $v(x)^2 \equiv \Phi(x) \mod u(x)$, onde $\Phi(x)$ é um polinômio implícito de grau 5, nunca computado (os divisores base já foram pré-selecionados para satisfazer $v^2 \equiv \Phi \mod u$).

Forma expandida:

• $(V_1x + V_0)^2 \equiv \Phi(x) \mod (x^2 + U_1x + U_0)$

Equação característica:

• $V_1^2x^2 + 2V_1V_0x + V_0^2 = \Phi(x) - Q(x)(x^2 + U_1x + U_0)$ (para algum polinômio quociente $Q(x)$ de grau 3).

O sistema implementa divisores da forma:

• $D = (u(x), v(x)) \in \text{Jac}(C)$

E aplica operações com base no fato de que essas tuplas satisfazem a condição fundamental:

• $v(x)^2 \equiv \Phi(x) \mod u(x)$

Operações:

1. Adição: $D_1 \oplus D_2 = \langle u_{\text{novo}}, v_{\text{novo}} \rangle$, onde $\oplus$ simboliza adição em grupos abelianos
2. Multiplicação escalar: $[k]D = \text{Double-and-Add}$
3. Assinatura: $s = k + H(R|M) \cdot d \mod p$

Segurança:

• Clássica: $\mathcal{O}(p^{4/5})$
• Quântica: Teoricamente Imune a Shor (gênero 2)

TODO

• Aritmética de Polinômios e Redução de Divisores
• Algoritmo de Mumford Simplificado
• Schnorr-based Signatures
• ElGamal-based Encryption
• Diffie-Hellman Function
• ANS.1 and PKCS#8 Support

Examples

package main

import (
	"fmt"

	hypercurve "github.com/pedroalbanese/hyper"
)

func main() {
	// Inicializa a curva
	curve := hypercurve.NewCurve()

	// Gera par de chaves (privada e pública)
	priv, pub, err := curve.GenerateKeyPair()
	if err != nil {
		panic(err)
	}

	// Mensagem a ser criptografada e assinada
	message := []byte("Mensagem Secreta!")

	// --- Criptografia assimétrica ---
	cipher, err := curve.Encrypt(pub, message)
	if err != nil {
		panic(err)
	}

	// Decifra a mensagem
	plain, err := curve.Decrypt(priv, cipher)
	if err != nil {
		panic(err)
	}

	fmt.Println("Mensagem original:  ", string(message))
	fmt.Println("Mensagem decifrada: ", string(plain))

	// --- Assinatura digital ---
	sig, err := curve.SignMessage(priv, message)
	if err != nil {
		panic(err)
	}

	ok, err := curve.VerifySignature(pub, message, sig)
	if err != nil {
		panic(err)
	}

	fmt.Println("Assinatura válida?", ok)
}

Diffie-Hellman Function

package main

import (
	"crypto/subtle"
	"fmt"

	hypercurve "github.com/pedroalbanese/hyper"
)

func main() {
	// Inicializa a curva
	curve := hypercurve.NewCurve()

	// Gera par de chaves (privada e pública) para Alice
	privA, pubA, err := curve.GenerateKeyPair()
	if err != nil {
		panic(err)
	}

	// Gera par de chaves para Bob
	privB, pubB, err := curve.GenerateKeyPair()
	if err != nil {
		panic(err)
	}

	// --- Diffie-Hellman com curva hiperelíptica ---
	keyA, err := curve.DiffieHellman(privA, pubB)
	if err != nil {
		panic(err)
	}

	keyB, err := curve.DiffieHellman(privB, pubA)
	if err != nil {
		panic(err)
	}

	if subtle.ConstantTimeCompare(keyA, keyB) == 1 {
		fmt.Printf("✅ Chave compartilhada derivada com sucesso: %x\n", keyA)
	} else {
		fmt.Println("❌ Falha na troca de chaves.")
	}
}

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